el ajedrez
LOS POLIGONOS DEL AJEDREZ
INTRODUCCION
Esta
investigación trata de averiguar cuantos cuadrados, rectángulos y triángulos
hay en un tablero de ajedrez profundizando sobre cada polígono, calculando las
posibles opciones de cada uno.
Para ellos
cogeremos un tablero de ajedrez y lo iremos dividiendo en distintos polígonos
para contar cuantos cuadrados, triángulos y rectángulos hay, los presentaremos
con dibujos y sus respectivas explicaciones.
LOS CUADRADOS DEL AJEDREZ
Cogemos un
tablero de ajedrez y diseñamos con el ‘paint’ para ir haciendo las posibles
opciones que puede haber. Dibujamos los cuadrados, que van apareciendo. Para
ello dibujamos las líneas que rodean los bordes del tablero, y después, en el
caso del cuadrado de 1x1, marcamos las líneas horizontales y verticales de un
lado, facilitando así los cálculos y el conteo.
En el caso
de los cuadrados aparece esta figura:
Se presentan
64 cuadrados que representan los cuadrados de un tablero reglamentario, pero
esto es solo el principio, ya que hay muchos más cuadrados de distintas
dimensiones (de 2x2, 3x3, etc…), saliendo una tabla así:
Lado cuadrado
|
Cuadrados en el tablero
|
1x1
|
64 cuadrados
|
2x2
|
49 cuadrados
|
3x3
|
36 cuadrados
|
4x4
|
25 cuadrados
|
5x5
|
16 cuadrados
|
6x6
|
9 cuadrados
|
7x7
|
4 cuadrados
|
8x8
|
1 cuadrado
|
Para saber
cuántos cuadrados hay en el tablero solo se tienen que sumar los cuadrados:
64+49+36+25+16+9+4+1=
204 cuadrados hay en el tablero.
Bien, ya
sabemos cuántos hay, pero ¿y si en vez de 8x8, seria de NxN?
La fórmula
de NxN seria así:
12+22+32+….
N2, porque es lo mismo que sumar lo de la tabla, ya que si nos damos
cuenta sucede esto:
8x8=64 82=64
7x7=49 72=49
...
1x1=1 12=1
Aun no te has
dado cuenta, bueno pues aquí se entiende mejor:
Así se llega
a la siguiente conclusión, para saber cuántos cuadrados hay en el tablero de
NxN de lado seria la formula así:
12+22+32+….
N2
LOS RECTANGULOS DEL AJEDREZ
Ahora que ya sabemos los cuadrados que hay en el tablero ya
solo hacen falta saber cuántos rectángulos puede haber en esos cuadrados, ya
que son muchos más difíciles de averiguar.
Se dibujan los rectángulos que pueden a ver de distintas
dimensiones y apuntando los resultados en una tabla, quedando los resultados de
esta forma:
Longitud
del rectángulo
|
Numero
rectángulos /tablero
|
8
|
1
|
7
|
2
|
6
|
3
|
5
|
4
|
4
|
5
|
3
|
6
|
2
|
7
|
1
|
8
|
Para saberlo
se suman los números de las dos columnas por separado:
8+7+6+5+4+3+2+1=
36
1+2+3+4+5+6+7+8=
36
Ahora para
saber en realidad cuantos rectángulos hay hace falta multiplicar para saber cuántos
hay
36x36= 1296 rectángulos
hay en el tablero
Bien, ahora
que ya tenemos los rectángulos, para saber cuántos rectángulos y cuadrados había
se suman, ya que los cuadrados ya lo habíamos calculado anteriormente:
204+1296= 1500 rectángulos y cuadrados
204+1296= 1500 rectángulos y cuadrados
¿Qué
pasaría si…?
-
¿Quieres
calcular los rectángulos y cuadrados de lado NxN?
o
La fórmula seria así:
o
13+23+33+……..N3, ahorrando
asi hacer la tabla, con este calculo te salvas de sumar y luego multiplicar, ya
que solo lo haces de un ‘tiron’
-
¿Quieres calcular los rectángulos solo?
o
Es
mas complejo hay que hacer la suma y luego elevarlos al cuadrado, la formula
seria asi:
(1+2+3+……N)2
Los triángulos del ajedrez
-
Si
trazamos una diagonal sobre el tablero para saber cuantos triángulos hay en
cada fila y luego cuantos hay en total:
o
En
la primer fila se haría la siguiente opracion: 1x(1+1)=2
o
Segunda
fila: 2x(2+1)=6
o
Tercera
fila: 3x(3+1)= 12
o
Cuarta:
4x(4+1)= 20
o
Quinta:
5x(5+1)=30
o
Sexta:
6x(6+1)=42
o
Séptima:
7x(7+1)=56
o
Octava:
8x(8+1)= 72 TRIANGULOS
Hay 72
triangulos en el tablero, que estarían representado en esta imagen:
-
Como
ya hemos dicho antes hay 72 triangulos en el tablero, pero eso es en la
diagonal de un tablero de 8x8, pero¿ y si seria de NxN?
o
Primera
fila: 1x(1+1)=2
o
Segunda
fila: 2x(2+1)=6
o
Tercera
fila: 3x(3+1)= 12
o
........
o
N
fila= Nx(N+1)
Cuando dices representado en esta imagen:¿A qué imagen te refieres?
ResponderEliminarEn el caso de los cuadrados aparece esta figura: ¿Cuál?
ResponderEliminarsaliendo una tabla así: ¿Cómo la has sacado?
aquí se entiende mejor: ¿dónde, no lo explicas?
¿podrías decirme la dirección de Internet de la que lo has sacado a ver si me entero?
Todo cudrilatero del tablero queda determinada por dos lineas paralelas verticales y dos lineas paralelas horizontales.
ResponderEliminarHay 9 lineas horizontales y por tanto hay 36 maneras diferentes de seleccionar 2 lineas entre esas 9 ( son combinaciones de 9 elementos tomados de dos en dos). Por la misma razon hay tambien 36 maneras distintas de elegir dos lineas verticales. Luego hay 36*36 maneras de formar un cuadrilatero en el tablero. Eso da 1296. Como ves en ningun caso del razonamiento se ha excluido los cuadrados. :-)