el ajedrez

LOS POLIGONOS DEL AJEDREZ

INTRODUCCION

Esta investigación trata de averiguar cuantos cuadrados, rectángulos y triángulos hay en un tablero de ajedrez profundizando sobre cada polígono, calculando las posibles opciones de cada uno.

Para ellos cogeremos un tablero de ajedrez y lo iremos dividiendo en distintos polígonos para contar cuantos cuadrados, triángulos y rectángulos hay, los presentaremos con dibujos y sus respectivas explicaciones.

LOS CUADRADOS DEL AJEDREZ

Cogemos un tablero de ajedrez y diseñamos con el ‘paint’ para ir haciendo las posibles opciones que puede haber. Dibujamos los cuadrados, que van apareciendo. Para ello dibujamos las líneas que rodean los bordes del tablero, y después, en el caso del cuadrado de 1x1, marcamos las líneas horizontales y verticales de un lado,  facilitando así  los cálculos y el conteo.

En el caso de los cuadrados aparece esta figura:

 

Se presentan 64 cuadrados que representan los cuadrados de un tablero reglamentario, pero esto es solo el principio, ya que hay muchos más cuadrados de distintas dimensiones (de 2x2, 3x3, etc…), saliendo una tabla así:

Lado cuadrado	Cuadrados en el tablero
1x1	64 cuadrados
2x2	49 cuadrados
3x3	36 cuadrados
4x4	25 cuadrados
5x5	16 cuadrados
6x6	9 cuadrados
7x7	4 cuadrados
8x8	1 cuadrado

Para saber cuántos cuadrados hay en el tablero solo se tienen que sumar los cuadrados:

64+49+36+25+16+9+4+1= 204 cuadrados hay en el tablero.

Bien, ya sabemos cuántos hay, pero ¿y si en vez de 8x8, seria de NxN?

La fórmula de NxN seria así:

1²+2²+3²+…. N², porque es lo mismo que sumar lo de la tabla, ya que si nos damos cuenta sucede esto:

8x8=64                    8²=64

7x7=49                    7²=49

...

1x1=1                    1²=1

Aun no te has dado cuenta, bueno pues aquí se entiende mejor:

 

Así se llega a la siguiente conclusión, para saber cuántos cuadrados hay en el tablero de NxN de lado seria la formula así:

1²+2²+3²+…. N²

LOS RECTANGULOS DEL AJEDREZ

Ahora que ya sabemos los cuadrados que hay en el tablero ya solo hacen falta saber cuántos rectángulos puede haber en esos cuadrados, ya que son muchos más difíciles de averiguar.

Se dibujan los rectángulos que pueden a ver de distintas dimensiones y apuntando los resultados en una tabla, quedando los resultados de esta forma:

Longitud del rectángulo	Numero rectángulos /tablero
8	1
7	2
6	3
5	4
4	5
3	6
2	7
1	8

Para saberlo se suman los números de las dos columnas por separado:

8+7+6+5+4+3+2+1= 36

1+2+3+4+5+6+7+8= 36

Ahora para saber en realidad cuantos rectángulos hay hace falta multiplicar para saber cuántos hay

36x36= 1296 rectángulos hay en el tablero

Bien, ahora que ya tenemos los rectángulos, para saber cuántos rectángulos y cuadrados había se suman, ya que los cuadrados ya lo habíamos calculado anteriormente:
204+1296= 1500 rectángulos y cuadrados  

¿Qué pasaría si…?

-         ¿Quieres calcular los rectángulos y cuadrados de lado NxN?

^o    La fórmula seria así:

^o    1³+2³+3³+……..N³, ahorrando asi hacer la tabla, con este calculo te salvas de sumar y luego multiplicar, ya que solo lo haces de un ‘tiron’

^-                   ¿Quieres calcular los rectángulos solo?

o  Es mas complejo hay que hacer la suma y luego elevarlos al cuadrado, la formula seria asi:

(1+2+3+……N)²

Los triángulos del ajedrez

-         Si trazamos una diagonal sobre el tablero para saber cuantos triángulos hay en cada fila y luego cuantos hay en total:

o  En la primer fila se haría la siguiente opracion: 1x(1+1)=2

o  Segunda fila: 2x(2+1)=6

o  Tercera fila: 3x(3+1)= 12   

o  Cuarta: 4x(4+1)= 20

o  Quinta: 5x(5+1)=30

o  Sexta: 6x(6+1)=42

o  Séptima: 7x(7+1)=56

o  Octava: 8x(8+1)= 72 TRIANGULOS  

Hay 72 triangulos en el tablero, que estarían representado en esta imagen:

-         Como ya hemos dicho antes hay 72 triangulos en el tablero, pero eso es en la diagonal de un tablero de 8x8, pero¿ y si seria de NxN?

o  Primera fila: 1x(1+1)=2

o  Segunda fila: 2x(2+1)=6

o  Tercera fila: 3x(3+1)= 12

o  ........

o  N fila= Nx(N+1)